{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Source sur la loi de réciprocité quadratique et le symbole de Legendre :\n",
    "    \n",
    "<https://www.mathraining.be/chapters/55?type=1&which=186>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 277,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def decomposition_premiers(n : int) -> list:\n",
    "    \"\"\"Décompose l'entier n en facteurs premiers\n",
    "    \"\"\"\n",
    "    d = 2\n",
    "    decomposition = []\n",
    "    if n  < 0:\n",
    "        decomposition.append((-1,1))\n",
    "        n = -n\n",
    "    while n > 1:\n",
    "        while n % d != 0:\n",
    "            d += 1\n",
    "        multiplicite = 0\n",
    "        while n % d == 0:\n",
    "            multiplicite += 1\n",
    "            n = n // d\n",
    "        decomposition.append((d, multiplicite))\n",
    "    return decomposition\n",
    "\n",
    "def signe_reciprocite_quadratique(p, q):\n",
    "    \"\"\"Renvoie le signe du coefficient de changement de signe\n",
    "    (-1) ** ((p-1) // 2 * (q - 1)//2) dans la loi de réciprocité quadratique\"\"\"\n",
    "    if (p - 1) * (q - 1) % 8 == 0:\n",
    "        return 1\n",
    "    else:\n",
    "        return -1\n",
    "    \n",
    "def symbole_legendre(p, q, debug = False):\n",
    "    \"\"\"Renvoie le symbole de Legendre de p par rapport à q\n",
    "    0 (cas trivial) si q divise p\n",
    "    1 si p possède un résidu quadratique modulo q\n",
    "    -1 si p ne possède pas de  résidu quadratique modulo q\n",
    "    \"\"\"\n",
    "    \n",
    "       \n",
    "    memo = dict() #dictionnaire de memoization des symboles de Legendre déjà calculés\n",
    "    compteur_appels = 0\n",
    "    \n",
    "    def auxiliaire(p, q):\n",
    "        nonlocal compteur_appels\n",
    "        if debug:\n",
    "            print(f\"Symbole de Legendre (p|q) avec p={p}, q={q}, décomposition en facteurs premiers de {p} : {decomposition_premiers(p)}\")\n",
    "            compteur_appels += 1\n",
    "        if p % q == 0:\n",
    "            return 0\n",
    "        if (p, q) in memo:\n",
    "            return memo[(p,q)]\n",
    "        if p == 1:\n",
    "            memo[(p,q)] = 1\n",
    "        elif p == -1:\n",
    "            if q % 4 == 1:\n",
    "                memo[(p,q)] = 1\n",
    "            else:\n",
    "                memo[(p,q)] = -1\n",
    "        elif p == 2:\n",
    "            if q % 8 in [1, 7]:\n",
    "                memo[(p,q)] = 1\n",
    "            else:\n",
    "                memo[(p,q)] = -1            \n",
    "        else:\n",
    "            symbole = 1\n",
    "            for (facteur_premier, multiplicite) in decomposition_premiers(p):\n",
    "                if multiplicite % 2 == 1: \n",
    "                    if facteur_premier == 2:\n",
    "                        symbole = symbole *  auxiliaire(2, q)\n",
    "                    else: #la loi de réciprocité quadratique ne s'applique qu'avec p et q pairs\n",
    "                        signe = signe_reciprocite_quadratique(facteur_premier, q)             \n",
    "                        symbole = symbole * auxiliaire(q % facteur_premier, facteur_premier) * signe \n",
    "                \n",
    "            memo[(p, q)] = symbole\n",
    "        return memo[(p, q)] \n",
    "\n",
    "    calcul = auxiliaire(p, q)  \n",
    "    if debug:\n",
    "        print(f\"Calcul en {compteur_appels} appels\")\n",
    "    return calcul"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 278,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def resolution_residu_quadratique(p, q, debug = False):\n",
    "    \"\"\"Renvoie une liste (x, y) de solutions de l'équation  q * x + p  = y ** 2\n",
    "    liste vide si p n'est pas un résidu quadratique modulo q\"\"\"\n",
    "    #premier cas : pas de solution\n",
    "    if symbole_legendre(p,q) == -1:\n",
    "        return []\n",
    "    #second cas \n",
    "    else:\n",
    "        #recherche des deux solutions avec 0 <= y < q par balayage        \n",
    "        p = p % q\n",
    "        y = 0\n",
    "        carre_y = y ** 2\n",
    "        while carre_y % q != p:\n",
    "            y += 1\n",
    "            carre_y = (y ** 2) % q\n",
    "        solution = [((carre_y - p) // q, y), (((q - y) ** 2 - p) // q, q - y)]\n",
    "        if debug:\n",
    "            for (x, y) in solution:\n",
    "                print(f\"{q} * {x} + {p} = {y} ** 2 = > {q * x + p == y ** 2}\")\n",
    "        return solution"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 279,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=78, q=2, décomposition en facteurs premiers de 78 : [(2, 1), (3, 1), (13, 1)]\n",
      "Calcul en 1 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "0"
      ]
     },
     "execution_count": 279,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(78,2, debug = True) #cas trivial"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 280,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=2, q=103, décomposition en facteurs premiers de 2 : [(2, 1)]\n",
      "Calcul en 1 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "1"
      ]
     },
     "execution_count": 280,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(2,103, debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 281,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=2, q=103, décomposition en facteurs premiers de 2 : [(2, 1)]\n",
      "Calcul en 1 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "1"
      ]
     },
     "execution_count": 281,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(2,103, debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 282,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=3, q=103, décomposition en facteurs premiers de 3 : [(3, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=1, q=3, décomposition en facteurs premiers de 1 : []\n",
      "Calcul en 2 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "-1"
      ]
     },
     "execution_count": 282,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(3, 103 , debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 283,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=12, q=103, décomposition en facteurs premiers de 12 : [(2, 2), (3, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=1, q=3, décomposition en facteurs premiers de 1 : []\n",
      "Calcul en 2 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "-1"
      ]
     },
     "execution_count": 283,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(12, 103 , debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 284,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=3, q=13, décomposition en facteurs premiers de 3 : [(3, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=1, q=3, décomposition en facteurs premiers de 1 : []\n",
      "Calcul en 2 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "1"
      ]
     },
     "execution_count": 284,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(3, 13 , debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 285,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=78, q=103, décomposition en facteurs premiers de 78 : [(2, 1), (3, 1), (13, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=2, q=103, décomposition en facteurs premiers de 2 : [(2, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=1, q=3, décomposition en facteurs premiers de 1 : []\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=12, q=13, décomposition en facteurs premiers de 12 : [(2, 2), (3, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=1, q=3, décomposition en facteurs premiers de 1 : []\n",
      "Calcul en 5 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "-1"
      ]
     },
     "execution_count": 285,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(78,103, debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 286,
   "metadata": {
    "scrolled": true
   },
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[]"
      ]
     },
     "execution_count": 286,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "resolution_residu_quadratique(78, 103, debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 287,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=11, q=89, décomposition en facteurs premiers de 11 : [(11, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=1, q=11, décomposition en facteurs premiers de 1 : []\n",
      "Calcul en 2 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "1"
      ]
     },
     "execution_count": 287,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(11,89, debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 288,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "89 * 0 + 11 = 10 ** 2 = > False\n",
      "89 * 70 + 11 = 79 ** 2 = > True\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[(0, 10), (70, 79)]"
      ]
     },
     "execution_count": 288,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "resolution_residu_quadratique(11, 89, debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 289,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=713, q=1009, décomposition en facteurs premiers de 713 : [(23, 1), (31, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=20, q=23, décomposition en facteurs premiers de 20 : [(2, 2), (5, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=3, q=5, décomposition en facteurs premiers de 3 : [(3, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=2, q=3, décomposition en facteurs premiers de 2 : [(2, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=17, q=31, décomposition en facteurs premiers de 17 : [(17, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=14, q=17, décomposition en facteurs premiers de 14 : [(2, 1), (7, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=2, q=17, décomposition en facteurs premiers de 2 : [(2, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=3, q=7, décomposition en facteurs premiers de 3 : [(3, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=1, q=3, décomposition en facteurs premiers de 1 : []\n",
      "Calcul en 9 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "1"
      ]
     },
     "execution_count": 289,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(713,1009, True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 290,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "1009 * 0 + 713 = 210 ** 2 = > False\n",
      "1009 * 632 + 713 = 799 ** 2 = > True\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[(0, 210), (632, 799)]"
      ]
     },
     "execution_count": 290,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "resolution_residu_quadratique(713, 1009, debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 291,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=3, q=5, décomposition en facteurs premiers de 3 : [(3, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=2, q=3, décomposition en facteurs premiers de 2 : [(2, 1)]\n",
      "Calcul en 2 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "-1"
      ]
     },
     "execution_count": 291,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(3,5, True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 292,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[]"
      ]
     },
     "execution_count": 292,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "resolution_residu_quadratique(3, 5, debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 293,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=17, q=31, décomposition en facteurs premiers de 17 : [(17, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=14, q=17, décomposition en facteurs premiers de 14 : [(2, 1), (7, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=2, q=17, décomposition en facteurs premiers de 2 : [(2, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=3, q=7, décomposition en facteurs premiers de 3 : [(3, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=1, q=3, décomposition en facteurs premiers de 1 : []\n",
      "Calcul en 5 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "-1"
      ]
     },
     "execution_count": 293,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(17,31, True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 294,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[]"
      ]
     },
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     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "resolution_residu_quadratique(17, 31, debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 295,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=5984, q=7907, décomposition en facteurs premiers de 5984 : [(2, 5), (11, 1), (17, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=2, q=7907, décomposition en facteurs premiers de 2 : [(2, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=9, q=11, décomposition en facteurs premiers de 9 : [(3, 2)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=2, q=17, décomposition en facteurs premiers de 2 : [(2, 1)]\n",
      "Calcul en 4 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
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       "1"
      ]
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   "source": [
    "symbole_legendre(5984,7907, True)"
   ]
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   "cell_type": "code",
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   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "7907 * 0 + 5984 = 364 ** 2 = > False\n",
      "7907 * 7195 + 5984 = 7543 ** 2 = > True\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[(0, 364), (7195, 7543)]"
      ]
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    }
   ],
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    "resolution_residu_quadratique(5984,7907, debug = True)"
   ]
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  {
   "cell_type": "code",
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   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=6988, q=7907, décomposition en facteurs premiers de 6988 : [(2, 2), (1747, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=919, q=1747, décomposition en facteurs premiers de 919 : [(919, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=828, q=919, décomposition en facteurs premiers de 828 : [(2, 2), (3, 2), (23, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=22, q=23, décomposition en facteurs premiers de 22 : [(2, 1), (11, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=2, q=23, décomposition en facteurs premiers de 2 : [(2, 1)]\n",
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=1, q=11, décomposition en facteurs premiers de 1 : []\n",
      "Calcul en 6 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
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       "1"
      ]
     },
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    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(6988,7907, True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 298,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "7907 * 0 + 6988 = 3408 ** 2 = > False\n",
      "7907 * 2559 + 6988 = 4499 ** 2 = > True\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[(0, 3408), (2559, 4499)]"
      ]
     },
     "execution_count": 298,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "resolution_residu_quadratique(6988,7907, debug = True)"
   ]
  },
  {
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   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=-1, q=5, décomposition en facteurs premiers de -1 : [(-1, 1)]\n",
      "Calcul en 1 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "1"
      ]
     },
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    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(-1, 5, True)"
   ]
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  {
   "cell_type": "code",
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    "scrolled": true
   },
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    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "5 * 0 + 4 = 2 ** 2 = > True\n",
      "5 * 1 + 4 = 3 ** 2 = > True\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[(0, 2), (1, 3)]"
      ]
     },
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     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "resolution_residu_quadratique(-1, 5, debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 301,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=-1, q=7, décomposition en facteurs premiers de -1 : [(-1, 1)]\n",
      "Calcul en 1 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "-1"
      ]
     },
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   "source": [
    "symbole_legendre(-1, 7, True)"
   ]
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  {
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       "[]"
      ]
     },
     "execution_count": 302,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "resolution_residu_quadratique(-1, 7, debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
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   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=2, q=7, décomposition en facteurs premiers de 2 : [(2, 1)]\n",
      "Calcul en 1 appels\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "1"
      ]
     },
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     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "symbole_legendre(2, 7, True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
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    {
     "name": "stdout",
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     "text": [
      "7 * 0 + 2 = 3 ** 2 = > False\n",
      "7 * 2 + 2 = 4 ** 2 = > True\n"
     ]
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    {
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       "[(0, 3), (2, 4)]"
      ]
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    }
   ],
   "source": [
    "resolution_residu_quadratique(2, 7, debug = True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 305,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Symbole de Legendre (p|q) avec p=2, q=17, décomposition en facteurs premiers de 2 : [(2, 1)]\n",
      "Calcul en 1 appels\n"
     ]
    },
    {
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       "1"
      ]
     },
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   "source": [
    "symbole_legendre(2, 17, True)"
   ]
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  {
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   },
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    {
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      "17 * 0 + 2 = 6 ** 2 = > False\n",
      "17 * 7 + 2 = 11 ** 2 = > True\n"
     ]
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    {
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       "[(0, 6), (7, 11)]"
      ]
     },
     "execution_count": 306,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
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   "source": [
    "resolution_residu_quadratique(2, 17, debug = True)"
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